Question

（2013•眉山一模）如圖，ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E為PD的中點．
（1）求證：AE∥面PBC；
（2）求直線PC與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PC中點F，連接EF、BF．利用三角形中位線定理，可得EF∥DC且EF=

1

2

DC，結合題意得EF∥AB，且EF=AB，所以ABFE為平行四邊形，可得AE∥BF，由此即得AE∥面PBC；
（2）根據PA⊥面ABCD得∠PCA就是直線PC與平面ABCD所成角，因此利用題中的位置關系和長度數據，算出Rt△PCA中PC和AC的長度，再利用直角三角形三角函數的定義，即可求出∠PCA的余弦，從而得到直線PC與平面ABCD所成角的余弦值．

解答：解：（1）取PC中點F，連接EF、BF．
∵△PCD中E、F分別為PD、PC的中點，
∴EF∥DC且EF=

1

2

DC，
∵AB∥DC且AB=

1

2

DC，∴EF∥AB，且EF=AB，…（3分）
∴ABFE為平行四邊形，可得AE∥BF，
∵AE?面PBC，BF?面PBC，∴AE∥面PBC．…（6分）
（2）∵PA⊥面ABCD，
∴AC是直線PC在平面ABCD內的射影，得∠PCA就是直線PC與平面ABCD所成角
∵AD=1，CD=2，∴Rt△ADC中，AC=

AD2+CD2

=

5

又∵PA=3，∴Rt△PAC中，PC=

PA2+AC2

=

14

，…（10分）
因此，Rt△PCA中，cos∠PCA=

AC

PC

=

5

14

=

70

14

，
即直線PC與平面ABCD所成角的余弦值為

70

14

．…（12分）

點評：本題給出底面為直角梯形的四棱錐，求證線面平行并求直線與平面所成角的大小，著重考查了空間線面平行判定定理和線面角大小的求法等知識，屬于中檔題．