Question

數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₉=135，a₃，a₄，a₁₂成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m，使

a 2 m + a 2 m+2

2am+1

仍為數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)？若存在，求出滿足要求的所有正整數(shù)m；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₉=135，a₃，a₄，a₁₂成等比數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，我們易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于數(shù)列基本項(xiàng)（首項(xiàng)與公差）的方程組，解方程組，求出基本項(xiàng)，進(jìn)而即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）中結(jié)論，我們對(duì)

a 2 m + a 2 m+2

2am+1

進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后判斷是否存在整數(shù)，使其滿足數(shù)列的通項(xiàng)公式，若存在，即可得到滿足題目的答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)a_n的公差為d≠0，則S9=9a1+

9×8

2

d=135，∴a₁+4d=15①
又∵a₃，a₄，a₁₂成等比數(shù)列，∴a₄²=a₃•a₁₂，即（a₁+3d）²=（a₁+2d）（a₁+11d），
化簡(jiǎn)，得13d+7a₁=0②
由①②，得：d=7，a₁=-13，∴a_n=a₁+（n-1）d=7n-20．（6分）
（Ⅱ）由于a_m=a_m+1-d，a_m+2=a_m+1+d，∴

a 2 m + a 2 m+2

2am+1

=

a 2 m+1 +d2

am+1

=am+1+

d2

am+1

，
設(shè)ak=am+1+

d2

am+1

，則7k-20=7(m+1)-20+

49

7(m+1)-20

，
即k=m+1+

7

7m-13

，由于k、m為正整數(shù)，所以7必須能被7m-13整除，
∴7m-13=1，-1，7，-7，∴m=2，k=10，
故存在唯一的正整數(shù)m=2，使

a 2 m + a 2 m+2

2am+1

仍為a_n中的一項(xiàng)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于數(shù)列基本項(xiàng)（首項(xiàng)與公差）的方程組，是解答本題的關(guān)鍵．