Question

12．證明：函數y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$滿足關系式y³y″+1=0．

Answer 1

分析 根據導數的運算法則先求導，再求導，代值計算即可．

解答 證明：y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=（2x-x²）${\;}^{\frac{1}{2}}$，
∴y′=$\frac{1}{2}$（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$（2x-x²）′=（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$（1-x），
∴y″=-$\frac{1}{2}$（2x-x²）${\;}^{-\frac{3}{2}}$（2-2x）•（1-x）-（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$=-（2x-x²）${\;}^{-\frac{3}{2}}$•（1-x）²-（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$，
∴y³y″+1=[-（2x-x²）${\;}^{-\frac{3}{2}}$•（1-x）²-（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$]•（2x-x²）${\;}^{\frac{3}{2}}$+1=-（1-x）²-2x+x²+1=-1-x²+2x-2x+x²+1=0

點評 本題考查了導數的運算法則和復合函數的求導法則，以及指數冪的運算性質，屬于中檔題．