Question

設a_n=n+

2

(n∈N*)，求證：數列{a_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．

Answer 1

分析：假設數列{a_n}中存在三項a_p，a_q，a_r（p，q，r互不相等）成等比數列，則根據等比中項的性質可知a_q²=a_pa_r．把a_p，a_q，a_r代入求得（q2-pr）+（2q-p-r）

2

=0進而推斷出

q2-pr=0 2q-p-r=0

，求得p=r，與p≠r矛盾．進而可知假設不成立．

解答：證明：假設數列{a_n}中存在三項a_p，a_q，a_r（p，q，r互不相等）成等比數列，則a_q²=a_pa_r．
即（q+

2

）2=（p+

2

）（r+

2

）．
∴（q2-pr）+（2q-p-r）

2

=0
∵p，q，r∈N^*，
∴

q2-pr=0 2q-p-r=0

，
∴（

p+r

2

）2=pr，（p-r）2=0，
∴p=r．
與p≠r矛盾．
所以數列{a_n}中任意不同的三項都不可能成等比數列．

點評：本小題考查數列的基本知識，考查等差數列的概念、通項公式與前n項和公式，考查等比數列的概念與性質，考查化歸的數學思想方法以及推理和運算能力．