Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，平面，，與平面所成的角為，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）首先根據(jù)條件證明，，即平面，再根據(jù)平面垂直平面的判定即可得到平面平面.

（2）首先以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求二面角的正切值即可.

（1）因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

又因?yàn)?/span>，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>平面，所以平面.

又因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，，

所以.

因?yàn)?/span>平面，

所以為與平面所成的角，

所以，.

以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，.

，，.

設(shè)平面的法向量為，

則，令，得.

因?yàn)?/span>平面，所以為平面的法向量.

設(shè)二面角的平面角為，

則，

所以.