Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）設BD=1，求三棱柱D-ABC的表面積、體積、內切球半徑、外接球半徑．

Answer 1

分析：（Ⅰ）注意折疊前后的量的關系，用面面垂直的判定可得：
（Ⅱ）由題意可得三棱錐的棱長，可求得表面積和體積，由等體積的方法可求內切球的半徑，把三棱柱D-ABC的外接球轉化為正方體的外接球可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC邊上的高，
∴當△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，∵AD?平面ABD，
∴平面ADB⊥平面BDC
（Ⅱ）由題意可知：BD=CD=AD=1，AB=BC=AC=

2

故三棱柱D-ABC的表面積S=3×

1

2

×1×1+

1

2

×

3

2

×(

2

)2=

3+ 3

2

三棱柱D-ABC的體積V=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

設內切球的半徑為r，外接球的半徑為R，
由等體積的方法可得V=4×

1

3

S×r，解得r=

3- 3

24

三棱柱D-ABC的外接球的直徑為以BA，DB，DC為棱的正方體的體對角線，
故2R=

3

，解得R=

3

2

點評：本題為折疊問題，注意前后的量的關系是解決問題的關鍵，轉化會使問題變得簡單，屬中檔題．