Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，點(n，

Sn

n

)都在函數f(x)=x+

an

2x

的圖象上．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）將數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（Ⅲ）令g(n)=(1+

2

an

)n（n∈N^*），求證：2≤g（n）＜3．

Answer 1

分析：（I）由題意因為點(n，

Sn

n

)在函數f(x)=x+

an

2x

的圖象上，所以可以求出Sn=n2+

1

2

an，由此猜想：a_n=2n，利用數學歸納法即可求證；
（II）因為a_n=2n（n∈N^*），所以數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，故b₁₀₀是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20，同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20，利用等差數列的通項公式即可；
（III）由（I）中知a_n=2n，∴g(n)=(1+

2

an

)n=(1+

1

n

)n，當n=1時，f（1）=2∈[2，3）；n≥2時，(1+

1

n

)n=

C

0 n

(

1

n

)0+

C

1 n

(

1

n

)1+

C

2 n

(

1

n

)2+

C

n n

(

1

n

)n，利用二項式定理進行適當放縮即可得證．

解答：解：（I）因為點(n，

Sn

n

)在函數f(x)=x+

an

2x

的圖象上，
故

Sn

n

=n+

an

2n

，所以Sn=n2+

1

2

an．令n=1，得a1=1+

1

2

a1，所以a₁=2；
令n=2，得a1+a2=4+

1

2

a2，a₂=4；令n=3，得a1+a2+a3=9+

1

2

a3，a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．
用數學歸納法證明如下：
①當n=1時，有上面的求解知，猜想成立．
②假設n=k（k≥1，k∈N^*）時猜想成立，即a_k=2k成立，
則當n=k+1時，注意到Sn=n2+

1

2

an（n∈N^*），
故Sk+1=(k+1)2+

1

2

ak+1，Sk=k2+

1

2

ak．
兩式相減，得ak+1=2k+1+

1

2

ak+1-

1

2

ak，所以a_k+1=4k+2-a_k．
由歸納假設得，a_k=2k，故a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）．
這說明n=k+1時，猜想也成立．
由①②知，對一切n∈N^*，a_n=2n成立．
（II）因為a_n=2n（n∈N^*），所以數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），．
每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，故b₁₀₀是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20．
同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20．
故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80．
注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，
所以b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010；
（III）有（I）中知a_n=2n，∴g(n)=(1+

2

an

)n=(1+

1

n

)n，
當n=1時，f（1）=2∈[2，3）；
當n≥2時，(1+

1

n

)n=

C

0 n

(

1

n

)0+

C

1 n

(

1

n

)1+…+

C

n n

(

1

n

)n
顯然( 1+

1

n

) n=

C

o n

(

1

n

)0+

C

1 n

(

1

n

)1 +…

C

n n

(

1

n

)n≥

C

0 n

(

1

n

)0+

C

1 n

(

1

n

)1=2
而

C

k n

(

1

n

)k=

n(n-1)(n-2)(n-k+1)

nk

•

1

k!

＜

1

k!

≤

1

(k-1)k

=

1

(k-1)

-

1

k

（k≥2）(1+

1

n

)n=

C

0 n

(

1

n

)0+

C

1 n

(

1

n

)1+

C

2 n

(

1

n

)2+

C

n n

(

1

n

)n＜1+1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=3-

1

n

＜3．

點評：此題考查了利用數學歸納法求解并進行證明數列的通項公式，還考查了學生的理解題意綜合能力，尤其考查了利用二項式定理及不等式的放縮的能力，屬于數學習題中的難題及拔高題．