Question

20.

上圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A_lB_lC₁＝90°，AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3.

（1）設(shè)點O是AB的中點，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；

（2）求二面角B—AC—A₁的大小；

（3）求此幾何體的體積.

Answer 1

解法一：

（1）證明：作OD//AA₁交A₁B₁于D,連C₁D.

則OD//BB₁//CC₁.

因為O是AB的中點，所以OD=(AA₁+BB₁)=3=CC₁.

則ODC₁C是平行四邊形，因此有OC//C₁D,

C₁D平面C₁B₁A₁且OC平面C₁B₁A_1,則OC//平面A₁B₁C₁.

(2)如圖，過B作截面BA₂C₂//面A₁B₁C₁,分別交AA₁、CC₁于A₂、C₂,

作BHA₂C₂于H，連CH.

因為CC₁面BA₂C₂,所以CC₁BH，則BH平面A₁C.

又因為,,,

所以BCAC,根據(jù)三垂線定理知CHAC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角.

因為,所以,故,

即：所求二面角的大小為

（3）因為,所以

所求幾何體體積為.

解法二：（1）如圖，以B₁為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,1,4),B(0,0,2)C(1,0,3),因為O是AB的中點，所以O(0,,3),.

易知，是平面A₁B₁C₁的一個法向量。

因為 OC平面A₁B₁C₁  所以OC//平面A₁B₁C₁.

(2),,

設(shè)是平面ABC的一個法向量，則由得：，

取x=-z=1,.顯然，為平面AA₁C₁C的一個法向量，

則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角.

所以二面角B-AC-A₁的大小是。

（3）同解法一.