Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3+b3≥

ab

(a2+b2)．

Answer 1

分析：作差，分類討論，確定差的符號(hào)，即可得到結(jié)論．

解答：證明：由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得a3+b3-

ab

(a2+b2)=a2

a

(

a

-

b

)+b2

b

(

b

-

a

)=(

a

-

b

)[(

a

)5-(

b

)5]．
當(dāng)a≥b時(shí)，

a

≥

b

，從而(

a

)5≥(

b

)5，得(

a

-

b

)[(

a

)5-(

b

)5]≥0；
當(dāng)a＜b時(shí)，

a

＜

b

，從而(

a

)5＜(

b

)5，得(

a

-

b

)[(

a

)5-(

b

)5]＞0．
所以a3+b3≥

ab

(a2+b2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．