Question

函數f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求實數a，b，并確定函數f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的性質，f（-x）=-f（x），及f(

1

2

)=

2

5

．及構造關于a，b的方程，解方程可求出實數a，b的值，進而得到函數f（x）的解析式；
（2）根據（1）中函數的解析式，任取區間（-1，1）上兩個任意的實數，然后分析它們所對應的函數值的大小，進而根據函數單調性的定義，即可得到結論．

解答：解：（1）若函數f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，
則f（-x）=

-ax+b

x2+1

=-f（x）=-

ax+b

x2+1

解得b=0
又∵f(

1

2

)=

2

5

．
∴

1 2 a

1 2 2+1

=

2

5

解得a=1
故f(x)=

x

x2+1

（2）任取區間（-1，1）上兩個任意的實數m，n，且m＜n
則f（m）-f（n）=

m

m2+1

-

n

n2+1

=

(m-n)(1-mn)

(m2+1)(n2+1)

∵m²+1＞0，n²+1＞0，m-n＜0，1-mn＞0
∴f（m）-f（n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）在（-1，1）上是增函數

點評：本題考查的知識點是奇函數，函數單調性的證明，其中（1）的關鍵是根據奇函數的性質求出a值，（2）的關鍵是化簡后對函數值差的符號的判斷．