Question

如圖，在平面直角坐標系XOY中，菱形ABCD的邊長為4，且|OB|=|OD|=6．
（Ⅰ）求證：|OA|．|OC|為定值；
（Ⅱ）當點A在半圓（x-2）²+y²=4（2≤x≤4）上運動時，求點C的軌跡．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題目給出的條件四邊形ABCD為菱形，且|OB|=|OD|，得到O、A、C三點共線，連結BD，則BD垂直平分線段AC，設垂足為K，然后把|OA|•|OC|通過|0K|和|AK|轉化為用|OB|和|AB|表示，則答案可證；
（Ⅱ）設出C點坐標，把A的坐標用∠XMA表示，得到|OA|，結合（Ⅰ）中結論求出C的橫坐標為定值5，進一步求出C的縱坐標的范圍，則點C的軌跡可求．

解答：解：（Ⅰ）如圖，
∵|OB|=|OD|，|AB|=|AD|=|BC|=|CD|，∴O、A、C三點共線，
連結BD，則BD垂直平分線段AC，設垂足為K，于是有
|OA|•|OC|=（|OK|-|AK|）（|OK|+|AK|）
=|OK|²-|AK|²=（|OB|²-|BK|²）（|AB|²-|BK|²）
=|OB|²-|AB|²=6²-4²=20（定值）；
（Ⅱ）設C（x，y），A（2+2cosα，sinα），其中α=∠XMA（-

π

2

≤α≤

π

2

），
則∠XOC=

α

2

．
∵|OA|²=（2+2cosα）²+（2sinα）²=8（1+cosα）=16cos2

α

2

，
∴|OA|=4cos

α

2

．
由（Ⅰ）的結論得：|OC|cos

α

2

=5，∴x=|OC|cos

α

2

=5．
從而y=|OC|sin

α

2

=5tan

α

2

∈[-5，5]．
故點C的軌跡是一條線段，其兩個短點的坐標分別為A（5，5），B（5，-5）．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，解答的關鍵是利用平面幾何知識把未知長度的式子轉化為已知長度的式子，是中檔題．