Question

【題目】在平面直角坐標系中，函數在第一象限內的圖像如圖所示，試做如下操作，把軸上的區間等分成個小區間，在每一個小區間上作一個小矩形，使矩形的右端點落在函數的圖像上.若用，表示第個矩形的面積，表示這個矩形的面積總和.

（Ⅰ）求的表達式；

（Ⅱ）請用數學歸納法證明等式：；

（Ⅲ）求的值，并說明的幾何意義.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ），的幾何意義表示函數的圖象與軸，及直線和所圍曲線梯形的面積.

【解析】

（1）第個矩形的高為，然后直接求出第個矩形的面積；

（2）當時，命題成立，假設時命題成立，證得時命題成立，即可得到結論；

（3）求得，求出極限，然后說明極限的幾何意義.

（Ⅰ）由題意第個矩形的高是，所以

（Ⅱ）（i）當時，，命題成立，

（ii）假設時命題成立，即，

則時，

，

∴時命題成立，

綜上，時，命題成真，即，

（Ⅲ）由（1）可求得

，

則，

所以的幾何意義表示函數的圖象與軸，及直線和所圍曲線梯形的面積為.