Question

已知函數f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）當t=1時，求函數f（x）在區間[-2，0]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）當t＞0時，求f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）當t=1時，求出函數f（x），求出導函數f'（x）=0的根，比較根的函數值與區間端點所對應的函數值，即可得到答案；
（2）根據f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

，由t＞0，解不等式f'（x）＜0，即可求出f（x）的單調遞減區間．

解答：解：（1）當t=1時，f（x）=4x³+3x²-6x，
∴f'（x）=12x²+6x-6，
令f'（x）=12x²+6x-6=0，解得x=-1或x=

1

2

（舍），
∴f（-2）=-8，f（-1）=5，f（0）=0，
∴函數f（x）在區間[-2，0]上的最大值為5，最小值為-8；
（2）∵f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，
∴f'（x）=12x²+6tx-6t²，
令f'（x）=0，解得x=-t或x=

t

2

，
∵t＞0，
∴-t＜

t

2

，
當f'（x）＜0時，解得-t＜x＜

t

2

，
∴當t＞0時，f（x）的單調遞減區間為（-t，

t

2

）．

點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性問題．對于利用導數求閉區間上的最值問題，一般求出導函數的根所對應的函數值與區間端點所對應的函數值比較大小即可．本題同時考查了計算能力．屬于基礎題．