Question

如圖，在△ABC中，|

BC

|=3

2

，|

CA

|=4，|

AB

|=2

3

，PQ是以A為圓心，

2

為半徑的圓的直徑，求

BP

•

CQ

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用余弦定理求出A的余弦函數值，利用向量三角形法則轉化

BP

•

CQ

為已知向量的關系，確定

CB

與

AP

方向相同或相反時，求出數量積的最值．

解答：解：在△ABC中，cosA=

42+(2 3 )2-(3 2 )2

2×4×2 3

=

5

8 3

-----------（2分）

BP

•

CQ

=(

AP

-

AB

)•(

AQ

-

AC

)=(

AP

-

AB

)•(-

AP

-

AC

)
=-

AP

2+(

AB

-

AC

)

•AP

+

AB

•

AC

=-

AP

2+

CB

•AP

+

AB

•

AC

--------（6分）
∵

AP

2=2，

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA
=4×2

3

×

5

8 3

=5----------（8分）
∴

BP

•

CQ

=-2+

CB

•

AP

+5=3+|

CB

|•|

AP

|cosθ
=3+3

2

×

2

cosθ=3+6cosθ---（10分）
當

CB

與

AP

方向相同時，

BP

•

CQ

取得最大值9，此時

PQ

與

BC

的方向相同；------（11分）
當

CB

與

AP

方向相反時，

BP

•

CQ

取得最小值-3，此時

PQ

與

BC

的方向相反------（12分）

點評：本題考查向量數量積的應用，向量在幾何中的應用，考查轉化思想以及計算能力．