Question

已知在△ABC中cosB=-

4

5

，sinC=

5

5

，求：
（Ⅰ）sinA的值，
（Ⅱ）tan（2B-C）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知結合同角三角函數的基本關系可得sinB和cosc的值，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，代入數據計算可得；
（Ⅱ）由同角三角函數的基本關系可得tanC和tanB，由二倍角公式可得tan2B的值，代入tan（2B-C）=

tan2B-tanC

1+tan2BtanC

，計算可得．

解答：解：（Ⅰ）∵cosB=-

4

5

，∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
∵sinC=

5

5

，0＜C＜

π

2

（B為鈍角）．
∴cosc=

1-sin2C

=

2 5

5

，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

3

5

×

2 5

5

+(-

4

5

)×

5

5

=

2 5

25

（Ⅱ）∵tanC=

sinC

cosC

=

5 5

2 5 5

=

1

2

，tanB=

sinB

cosB

=

3 5

- 4 5

=-

3

4

，
∴tan2B=

2tanB

1-tan2B

=

- 3 2

1- 9 16

=-

24

7

，
∴tan（2B-C）=

tan2B-tanC

1+tan2BtanC

=

- 24 7 - 1 2

1- 24 7 × 1 2

=

11

2

點評：本題考查兩角和與差的正切公式，涉及同角三角函數的基本關系，屬中檔題．