Question

（1）設全集U=Z，集合A={x²，2x-1，-4}，B={x-5，1-x，9}，若A∩B={9}，求A∪B，（?_UA）∩B；
（2）求函數f(x)=(

1

2

)x2-2x+4的定義域和值域．

Answer 1

分析：（1）由于A∩B={9}，可得x²=9或2x-1=9，解得x=±3，x=5．利用集合的互異性可知：只有當x=-3時，A={9，-7，-4}，B={-8，4，9}，滿足條件．即可得出A∪B，（?_UA）∩B．
（2）由于函數f(x)=(

1

2

)x2-2x+4，可得函數f（x）的定義域為R．利用x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，和指數函數的單調性即可得出0＜f(x)≤(

1

2

)3．

解答：解：（1）∵A∩B={9}，∴x²=9或2x-1=9，
解得x=±3，x=5．
①當x=3時，x-5=-2，1-x=-2，應舍去；
②當x=5時，x²=2x-1=9，應舍去；
③當x=-3時，A={9，-7，-4}，B={-8，4，9}，滿足條件．
因此A∪B={9，4，-4，-7，-8}，（?_UA）∩B={-8，4}．
（2）∵函數f(x)=(

1

2

)x2-2x+4，∴函數f（x）的定義域為R．
∵x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，∴0＜f(x)≤(

1

2

)3=

1

8

．
因此函數f（x）的值域為(0，

1

8

]．

點評：本題考查了指數函數的單調性、二次函數的單調性、集合的運算及其性質，屬于中檔題．