Question

（2012•貴州模擬）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐標原點，C的右頂點和上頂點分別為A、B，且|AB|=3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線x=ky+1與C交于相異兩點M、N，且

OM

•

ON

=-

31

9

，求k．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的焦點坐標，及|AB|=3，建立方程組，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線x=ky+1代入橢圓方程，消去x可得一元二次方程，利用韋達定理及向量條件，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，

a2-b2=1 a2+b2=9

，∴a²=5，b²=4
∴橢圓C的方程為

x2

5

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）直線x=ky+1代入橢圓方程，消去x可得（4k²+5）y²+8ky-16=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=

-8k

4k2+5

，y₁y₂=

-16

4k2+5

∴x1x2=(ky1+1)(ky2+1)=k2y1y2+k(y1+y2)+1=

-20k2+5

4k2+5

∵

OM

•

ON

=-

31

9

∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=

-20k2-11

4k2+5

=-

31

9

∴k²=1，從而k=±1

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識，考查韋達定理的運用，聯(lián)立方程，正確運用韋達定理是關鍵．