Question

如圖,正方形ACC₁A₁與等腰Rt△ACB互相垂直,∠ACB=90°,E、F分別是AB、BC的中點(diǎn),G是AA₁上的點(diǎn).

 

(1)若AC₁⊥EG,試確定點(diǎn)G的位置;

(2)在滿足條件(1)的情況下,試求cos〈AC,GF〉的值.

Answer 1

思路解析:根據(jù)圖形建立空間直角坐標(biāo)系、求出各點(diǎn)坐標(biāo)求解即可.

解:(1)由正方形ACC₁A₁與等腰Rt△ACB互相垂直、∠ACB=90°,

∴BC⊥AC.

∴BC⊥CC₁.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)、建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz,

如上圖.

設(shè)AC=CB=a,AG=x,則A(0,a,0).

C₁(0,0,a),G(0,a,x),E(,,0).

=(0,-a,a),=(-,x).

∵·=0,∴-+xa=0.

∴x=.∴G為AA₁的中點(diǎn).

(2)∵G(0,a,),F(,0,0),

∴=(,-a,), =(0,-a,a).

∴||=a,||=a.

∴·=a²-

∴cos〈,〉=