Question

已知F₁，F₂為雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點．
（Ⅰ）若點P為雙曲線與圓x²+y²=a²+b²的一個交點，且滿足|PF₁|=2|PF₂|，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設雙曲線的漸近線方程為y=±x，F₂到漸近線的距離是，過F₂的直線交雙曲線于A，B兩點，且以AB為直徑的圓與y軸相切，求線段AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由雙曲線的定義及|PF₁|=2|PF₂|求出|PF₁|和|PF₂|，給出的圓的半徑為雙曲線的半焦距，說明△F₁PF₂為直角三角形，利用勾股定理得關系式可求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）由雙曲線的漸近線方程為y=±x，說明雙曲線為等軸雙曲線，再由F₂到漸近線的距離是，結合a²+b²=c²即可求出雙曲線方程，利用雙曲線的焦半徑公式求出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）到F₂的距離，根據以AB為直徑的圓與y軸相切，得到，代入坐標后整理即可得到線段AB的長．
解答：解：（Ⅰ）由題設得：，得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
因為點P為雙曲線與圓x²+y²=a²+b²=c²的一個交點，∴PF₁⊥PF₂，
∴，則16a²+4a²=4c²，即5a²=c²，故離心率；
（Ⅱ）∵雙曲線的漸近線方程為y=±x，F₂到漸近線的距離是，
∴，所以c=2，又，a²+b²=c²，得a=b=，
所以雙曲線方程為x²-y²=2，F₂（2，0），．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由雙曲線的焦半徑公式得：，
，
∵以AB為直徑的圓與y軸相切，∴．
∴，則，
所以．
點評：本題考查雙曲線的基本性質、雙曲線方程的求法以及直線與雙曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．屬難題．