Question

ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個邊長為1的正方體，過頂點A作正方體的截面（該截面與正方體的表面不重合），若截面的形狀為四邊形，則截面面積的取值范圍是

(1，

2

]

．

Answer 1

分析：如圖所示，設過頂點A作正方體的截面AEFG與底面ABCD所成的角為θ，利用關系式：

S 底面ABCD

S 截面AEFG

=cosθ，得出S_截面AEFG＞1又當截面AEFG是正方體的對角面AB₁C₁D時，其面積最大，最大為

2

，從而得到截面面積的取值范圍．

解答：解；如圖所示，
設過頂點A作正方體的截面AEFG與底面ABCD所成的角為θ，
則有：

S 底面ABCD

S 截面AEFG

=cosθ，
∴S_截面AEFG=

S 底面ABCD

cosθ

＞1，
又當截面AEFG是正方體的對角面AB₁C₁D時，其面積最大，最大為

2

，
則截面面積的取值范圍是 (1，

2

]．
故答案為：(1，

2

]．

點評：本小題主要考查棱柱的結構特征、正方體的結構特征的應用、正方體的截面等基礎知識，考查空間想象能力．屬于基礎題．