Question

已知圓的方程是：x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0，其中a≠1，且a∈R．
（Ⅰ）求證：a取不為1的實數(shù)時，上述圓恒過定點；
（Ⅱ）求恒與圓相切的直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將圓系方程按照a集項，得到方程組，求出定點坐標(biāo)．
（Ⅱ）設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，比較系數(shù)得到方程組，求出恒與圓相切的直線的方程．

解答：解：（Ⅰ）將方程x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0
整理得：x²+y²-4y+2+a（2x-2y）=0．
令

x2+y2-4y+2=0 x-y=0

 解之得

x=1 y=1

，
∴定點為（1，1）．
（Ⅱ）圓的圓心坐標(biāo)為（a，2-a），半徑為：

2

|a-1|
顯然，滿足題意切線一定存在斜率，
∴可設(shè)所求切線方程為：y=kx+b，即kx-y+b=0，
則圓心到直線的距離應(yīng)等于圓的半徑，即

|ka+(a-2)+b|

1+k2

=

2

|a-1|恒成立，
即2（1+k²）a²-4（1+k²）a+2（1+k²）=（1+k）²a²+2（b-2）（k+1）a+（b-2）²恒成立，
比較系數(shù)得

2(1+k2)=(1+k)2 4(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2

，
解之得k=1，b=0，所以所求的直線方程為y=x．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓系方程的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計算能力．