Question

已知a、b是非零向量,當a+tb(t∈R)的模取最小值時,

       (1)求t的值；

       (2)若a與b共線且同向,求證:b⊥(a+tb).

      

Answer 1

解析:(1)令m=|a+tb|,?

       則m²=|a+tb|²=|a|²+t²|b|²+2|a|·|b|cosθ·t?

       =|b|²(t+ cosθ)²+|a|²sin²θ?

       =|b|²(t+cosθ)²+|a|²sin²θ.?

       ∴當t=-cosθ時,|a+tb|有最小值|a|sinθ.?

       (2)∵a與b共線且同向,?

       ∴cosθ=1.?

       ∴t=-.∴b·(a+tb)=a·b+(-)|b|²?

       =|a||b|-|a||b|=0.?

       ∴b⊥(a+tb).