Question

（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中為常數(shù)，.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：當(dāng)；
（3）設(shè)數(shù)列的公比為數(shù)列滿足求證：.

Answer 1

略

解（1）由又兩式相減得
即為常數(shù)，∴數(shù)列等比.
（2）由（1）知等比，又，當(dāng)時(shí)，即　
∴　　　即　
∴

兩式相減得
∴　又　∴單調(diào)遞增
∴當(dāng)時(shí)，　故當(dāng)時(shí)　
（3）由（1）知　則　∴
故是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.　∴　即
即證：
方法一：只須證，用數(shù)學(xué)歸納法證明（i）當(dāng)時(shí)，左　右邊　不等式成立，(ii)假設(shè)時(shí)不等式成立，
即     則當(dāng)時(shí)


即時(shí)也成立，綜合(i)(ii)得證
方法二：記, 　
知↑,所以
方法三：

∴