Question

設x∈R，函數f（x）=cosx+sinx，g（x）=cosx-sinx．
（1）求函數F（x）=f（x）•g（x）+f²（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）若f（x）=2g（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意利用二倍角的三角函數公式與輔助角公式，化簡得F（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1．再由三角函數的周期公式與正弦函數的單調區間公式加以計算，可得函數F（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）根據f（x）=2g（x）算出3sinx=cosx，從而得出tanx=

1

3

．再利用同角三角函數的基本關系進行“弦化切”，可得所求分式的值．

解答：解：（1）F（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+（cosx+sinx）²
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∴函數F（x）的最小正周期為π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
可得函數F（x）的單調遞增區間是[kπ-

3π

8

 ， kπ+

π

8

]（k∈Z）． 
（2）∵f（x）=2g（x），∴cosx+sinx=2（cosx-sinx），
解得3sinx=cosx，所以tanx=

sinx

cosx

=

1

3

．
因此，

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

=

cos2x+2sin2x

cos2x-sinxcosx

=

1+2tan2x

1-tanx

=

11

6

．

點評：本題已知f（x）、g（x）的表達式，求與之相關的函數F（x）的最小正周期和單調遞增區間．著重考查了三角函數的圖象與性質、三角恒等變換、同角三角函數的基本關系等知識，屬于中檔題．