Question

設向量

OZ

={log2(m2-3m-3)，log2(m-2)}(m∈R)對應的復數z．
（1）若

OZ

在虛軸上，求實數m的值及|

OZ

|；
（2）若

OZ

在第二象限內移動，求m的取值范圍；
（3）若

OZ

的終點Z在直線x-2y+1=0上，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據復數對應的點在虛軸上，有實部等于0，得到log₂（m²-3m-3）=0，根據對數的定義域和所給的等式解出m的值，求出對應的復數的模長．
（2）根據復數對應的點在第二象限，得到橫標小于0，縱標大于0，寫出復數的橫標和縱標的表達式組，再寫上對數本身成立的條件，解不等式組即可．
（3）對應的點子啊直線上，只要把點的坐標代入直線的方程，得到關于m的方程，注意對數本身成立的條件，解方程即可．

解答：解：（1）根據復數對應的點在虛軸上，有實部等于0，
log₂（m²-3m-3）=0
∴m²-3m-3=1∴m=4或m=-1
∵

m2-3m-3＞0 m-2＞0

∴取m=4時

.

OZ

在虛軸上，|

.

OZ

|=1
（2）在第二象限，則有

log2(m2-3m-3)＜0 log2(m-2)＞0 m2-3m-3＞0 m-2＞0

∴m∈(

3+ 21

2

，4)
（3）log₂（m²-3m-3）-2log₂（m-2）+1=0
則

m2-3m-3＞0 m-2＞0

，
解得m=1+

11

．

點評：本題考查復數的幾何意義及對數的定義域和單調性，本題解題的關鍵是對于復數對應的點的位置確定復數的實部和虛部對應的符號，本題是一個基礎題．