Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若，證明：函數在上單調遞減；

（Ⅱ）是否存在實數，使得函數在內存在兩個極值點？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由. （參考數據： ， ）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（I）；求導得，只需利用導數研究函數的單調性，求出最大值，從而證明即可得結論；（II）討論時， 時兩種情況，分別利用導數研究函數的單調性，排除不合題意的情況，從而可得使得函數在內存在兩個極值點的實數的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域是.

求導得.

設，則與同號.

所以，若，則對任意恒成立.

所以函數在上單調遞減.

又，

所以當時，滿足.即當時，滿足.

所以函數在上單調遞減.

（Ⅱ）①當時，函數在上單調遞減.

由，又， 時， ，

取，則，

所以一定存在某個實數，使得.

故在上， ；在上， .

即在上， ；在上， .

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.此時函數只有1個極值點，不合題意，舍去；

②當時，令，得；令，得，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.

故函數的單調情況如下表：

		0	＋
		極小值

要使函數在內存在兩個極值點，則需滿足，即，

解得又， ，

所以.

此時， ，

又， ；

綜上，存在實數，使得函數在內存在兩個極值點.