Question

已知橢圓的中心在原點O，焦點在x軸上，點A（-2

3

，0)是其左頂點，點C在橢圓上，且

AC

•

CO

=0，|

AC

|=|

CO

|．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若平行于CO的直線l和橢圓交于M，N兩個不同點，求△CMN面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，左頂點A（-2

3

，0)，AC⊥CO，|AC|=|CO|．a²=12，C（-

3

，

3

）再由C在橢圓上知b²=4，由此能導出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若CO的斜率為-1，設直線l的方程為y=-x+m，代入

x2

12

+

y2

4

=1得4x²-6mx+3m²-12=0，由題設條件能導出|MN|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

12- 3m2 4

，又C到直線l的距離d=

|- 3 + 3 -m|

2

=

|m|

2

，所以△CMN的面積S=

1

2

•|MN|•d=

3

4

m2•(16-m2)

≤

3

4

•

( m2+16-m2 2 )2

=2

3

，由此能求出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵左頂點A（-2

3

，0)，AC⊥CO，|AC|=|CO|．
∴a²=12，C（-

3

，

3

），（第三象限的點相同，可以不考慮）（2分）
又∵C在橢圓上，∴

3

12

+

3

b2

=1，∴b²=4，（4分）
∴橢圓的標準方程為

x2

12

+

y2

4

=1．（5分）
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若CO的斜率為-1，
則設直線l的方程為y=-x+m，代入

x2

12

+

y2

4

=1得4x²-6mx+3m²-12=0，（6分）

△=36m2-4•4(3m2-12)＞0 x1+x2= 3m 2 x1•x2= 3m2-12 4

（7分）
∴|MN|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

12- 3m2 4

，（8分）
又C到直線l的距離d=

|- 3 + 3 -m|

2

=

|m|

2

，（9分）
∴△CMN的面積S=

1

2

•|MN|•d=

3

4

m2•(16-m2)

（10分）
≤

3

4

•

( m2+16-m2 2 )2

=2

3

，（11分）
當且僅當m²=16-m²時取等號，此時m=±2

2

滿足題中條件，（12分）
∴直線l的方程為x+y±2

2

=0．（13分）
當點C在第三象限時，由對稱可知：直線l的方程為x-y±2

2

=0（14分）

點評：本題考查點的軌跡方程，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．