Question

如圖，已知橢圓C₁與C₂的中心在坐標(biāo)原點O，長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為2m，2n（m＞n），過原點且不與x軸重合的直線l與C₁，C₂的四個交點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D，記，△BDM和△ABN的面積分別為S₁和S₂．
（Ⅰ）當(dāng)直線l與y軸重合時，若S₁=λS₂，求λ的值；
（Ⅱ）當(dāng)λ變化時，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S₁=λS₂？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出兩個橢圓的方程，當(dāng)直線l與y軸重合時，求出△BDM和△ABN的面積S₁和S₂，直接由面積比=λ列式求λ的值；
（Ⅱ）假設(shè)存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S₁=λS₂，設(shè)出直線方程，由點到直線的距離公式求出M和N到直線l的距離，利用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想把兩個三角形的面積比轉(zhuǎn)化為線段長度比，由弦長公式得到線段長度比的另一表達(dá)式，兩式相等得到，換元后利用非零的k值存在討論λ的取值范圍．
解答：解：以題意可設(shè)橢圓C₁和C₂的方程分別為
，．其中a＞m＞n＞0，．
（Ⅰ）如圖1，若直線l與y軸重合，即直線l的方程為x=0，則
，
，
所以．
在C₁和C₂的方程中分別令x=0，可得y_A=m，y_B=n，y_D=-m，
于是．
若，則，化簡得λ²-2λ-1=0，由λ＞1，解得．
故當(dāng)直線l與y軸重合時，若S₁=λS₂，則．
（Ⅱ）如圖2，若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S₁=λS₂，根據(jù)對稱性，
不妨設(shè)直線l：y=kx（k＞0），
點M（-a，0），N（a，0）到直線l的距離分別為d₁，d₂，則
，所以d₁=d₂．
又，所以，即|BD|=λ|AB|．
由對稱性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|-|AB|=（λ-1）|AB|，
|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．
將l的方程分別與C₁和C₂的方程聯(lián)立，可求得

根據(jù)對稱性可知x_C=-x_B，x_D=-x_A，于是
②
從而由①和②可得
③
令，則由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．
因為k≠0，所以k²＞0．于是③關(guān)于k有解，當(dāng)且僅當(dāng)，
等價于，由λ＞1，解得，
即，由λ＞1，解得，所以
當(dāng)時，不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S₁=λS₂；
當(dāng)時，存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S₁=λS₂．
點評：本題考查了三角形的面積公式，考查了點到直線的距離公式，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，該題重點考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，（Ⅱ）中判斷λ的存在性是該題的難題，考查了靈活運用函數(shù)和不等式的思想方法．