Question

某公司是一家專做產品A的國內外銷售的企業，每一批產品A上市銷售40天全部售完，該公司對第一批產品A上市后的國內外市場的銷售情況進行了跟蹤調查，調查結果如圖1、圖2、圖3所示，其中圖1中的折線表示的是國內市場的日銷售量與上市時間的關系；圖2中的拋物線表示國外市場的日銷售量與上市時間的關系；圖3中的折線表示的是每件產品A的銷售利潤與上市時間的關系（國內外市場相同）
（1）分別寫出國內市場的日銷售量f（t），國外市場的日銷售量g（t）與第一批產品A的上市時間t的關系式；
（2）每一批產品A上市后，問哪一天這家公司的日銷售利潤最大？最大是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察函數的圖象知：圖1是一條折線，其解析式寫成分段函數的形式；圖2是拋物線，其解析式是二次函數的形式；由圖象得函數的解析式即可；
（2）先由題意得出這家公司的日銷售利潤Q（t）的解析式，再利用導數或基本不等式求出此函數的最大值，從而得到第一批產品A上市后，這家公司的日銷售利潤在第幾天最大，最大值為多少萬元．
解答：解：（1）由圖象得函數的解析式分別為：
．
（2）設每件產品A的銷售利潤為q（t），
則，
從而這家公司的日銷售利潤Q（t）的解析式為：
．
①當0≤t≤20時，Q'（t）=-
∴Q（t）在區間[0，20]上單調遞增，此時Q_max（t）=Q（20）=6000
②當20＜t≤30時，t∈N⁺，
t=27時Q_max（t）=Q（27）=6399
③當30＜t≤40Q（t）＜Q（30）=6300
綜上所述Q_max（t）=Q（27）=6399
第一批產品A上市后，這家公司的日銷售利潤在第27天最大，最大值為6399萬元．
點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、分段函數、函數單調性的應用、導數的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．