Question

設f（x）是定義在R上的偶函數，對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），且當x∈[-2，0]時，f（x）=-1，若在區間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數解，則a的取值范圍是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，）
D．（，2）

Answer 1

【答案】分析：由已知中f（x）是定義在R上的偶函數，對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），我們可以得到函數f（x）是一個周期函數，且周期為4，則不難畫出函數f（x）在區間（-2，6]上的圖象，結合方程的解與函數的零點之間的關系，我們可將方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數解，轉化為函數f（x）的與函數y=）-log_a^x+2的圖象恰有3個不同的交點，數形結合即可得到實數a的取值范圍．
解答：解：∵對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴函數f（x）是一個周期函數，且T=4
又∵當x∈[-2，0]時，f（x）=-1，且函數f（x）是定義在R上的偶函數，
故函數f（x）在區間（-2，6]上的圖象如下圖所示：

若在區間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數解
則log_a4＜3，log_a8＞3，
解得：＜a＜2
故選D
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，指數函數與對數函數的圖象與性質，其中根據方程的解與函數的零點之間的關系，將方程根的問題轉化為函數零點問題，是解答本題的關鍵．