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已知函數(shù)f(x)=xe-x+(x-2)ex-a(e≈2.73).
(Ⅰ)當(dāng)a=2時,證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);
(Ⅱ)若a>2時,當(dāng)x≥1時,f(x)≥
x2-2x+1ex
恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)只需證明當(dāng)a=2時f′(x)≥0恒成立即可;
(Ⅱ)當(dāng)x≥1時,f(x)≥
x2-2x+1
ex
恒成立,即(x-2)e2x-a-x2+3x-1≥0恒成立,設(shè)h(x)=(x-2)e2x-a-x2+3x-1(x≥1),從而轉(zhuǎn)化為h(x)min≥0即可,利用導(dǎo)數(shù)可求得h(x)min,注意對a進(jìn)行討論;
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=2時,f(x)=xe-x+(x-2)ex-2,f(x)的定義域為R,
f′(x)=e-x-xe-x+ex-2+(x-2)ex-2=(x-1)(ex-2-e-x)=e-x(x-1)(ex-1-1)(ex-1+1).
當(dāng)x≥1時,x-1≥0,ex-1-1≥0,所以f′(x)≥0,
當(dāng)x<1時,x-1<0,ex-1-1<0,所以f′(x)≥0,
所以對任意實數(shù)x,f′(x)≥0,
所以f(x)在R上是增函數(shù);  
(II)當(dāng)x≥1時,f(x)≥
x2-2x+1
ex
恒成立,即(x-2)e2x-a-x2+3x-1≥0恒成立,
設(shè)h(x)=(x-2)e2x-a-x2+3x-1(x≥1),則h′(x)=(2x-3)(e2x-a-1),
令h′(x)=(2x-3)(e2x-a-1)=0,解得x1=
3
2
x2=
a
2

(1)當(dāng)1<
a
2
3
2
,即2<a<3時,
x (1,
a
2
a
2
a
2
3
2
3
2
3
2
,+∞)
h′(x) + 0 - 0 +
h(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
所以要使結(jié)論成立,則h(1)=-e2-a+1≥0,h(
3
2
)=-
1
2
e3-a+
5
4
≥0,即e2-a≤1,e3-a
5
2

解得a≥2,a≥3-ln
5
2
,所以3-ln
5
2
≤a<3;
(2)當(dāng)
a
2
=
3
2
,即a=3時,h′(x)≥0恒成立,所以h(x)是增函數(shù),又h(1)=-e-1+1>0,
故結(jié)論成立;                              
(3)當(dāng)
a
2
3
2
,即a>3時,
x (1,
3
2
3
2
3
2
a
2
a
2
a
2
,+∞)
h′(x) + 0 - 0 +
h(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
所以要使結(jié)論成立,
則h(1)=-e2-a+1≥0,h(
a
2
)=-
a2
4
+2a-3≥0,即e2-a≤1,a2-8a+12≤0,
解得a≥2,2≤a≤6,所以3<a≤6;                              
綜上所述,若a>2,當(dāng)x≥1時,f(x)≥
x2-2x+1
ex
恒成立,實數(shù)a的取值范圍是3-ln
5
2
≤a≤6.                                                    …(12分)
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)最值問題,考查不等式恒成立問題,考查學(xué)生分類討論思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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