Question

已知f（x）=3-4^x+2xln2，數列{a_n}滿足：-

1

2

＜a1＜0， 21+an+1=f(an) (n∈N*)
（1）求f（x）在[-

1

2

，0]上的最大值和最小值；
（2）用數學歸納法證明：-

1

2

＜an＜0．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定函數的單調性，即可求得函數的最值；
（2）利用數學歸納法的證題步驟，關鍵證明n=k+1時，結論成立，需要利用歸納假設．

解答：（1）解：求導函數，可得f′（x）=（1-4^x）ln4
∵x∈[-

1

2

，0]，∴0＜1-4^x＜

1

2

，∴f′（x）＞0
∴f（x）在[-

1

2

，0]上單調遞增
∴f_max（x）=f（0）=2；f_min（x）=f（-

1

2

）=

5

2

-ln2；
（2）證明：①n=1時，結論成立；
②假設當n=k時，命題成立，即-

1

2

＜ak＜0，
則n=k+1時，由（1）得21+ak+1=f（a_k）∈（

5

2

-ln2，2）
∴

2

＜

3

2

＜

5

2

-ln2＜21+ak+1＜2
∴

1

2

＜1+ak+1＜1
∴-

1

2

＜ak+1＜0，即n=k+1時命題成立
由①②可知，-

1

2

＜an＜0．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查數學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．