Question

三個女生和五個男生排成一排,

(1)如果女生必須全排在一起,可有多少種不同的排法?

(2)如果女生必須全分開,可有多少種不同的排法?

(3)如果兩端都不能排女生,可有多少種不同的排法?

(4)如果兩端不能都排女生,可有多少種不同的排法?

Answer 1

思路解析:解決排列、組合(組合下一節將學到,由于規律相同,順便提及,以下遇到也同樣處理)應用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.

若以位置為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置.解決有兩個以上約束條件的問題時,往往在考慮一個約束條件的同時要兼顧其他條件.

若以元素為主,需先滿足特殊元素的要求、再處理其他的元素.

解:(1)(捆綁法)因為三個女生必須排在一起,所以可以先把她們看成一個整體、這樣同五個男生合在一起共有六個元素,排成一排有種不同排法.對于其中的每一種排法,三個女生之間又都有種不同的排法,因此共有·=4 320種不同的排法.

(2)(插空法)要保證女生全分開,可先把五個男生排好,每兩個相鄰的男生之間留出一個空當,這樣共有4個空當,加上兩邊兩個男生外側的兩個位置,共有六個位置,再把三個女生插入這六個位置中,只要保證每個位置至多插入一個女生,就能保證任意兩個女生都不相鄰.由于五個男生排成一排有種不同排法,對于其中任意一種排法,從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有種方法,因此共有·=14 400種不同的排法.

(3)法一:(位置分析法)因為兩端不能排女生,所以兩端只能挑選5個男生中的2個,有種不同排法,對于其中的任意一種排法,其余六位都有種排法,所以共有·=14 400種不同的排法.

法二:(間接法)3個女生和5個男生排成一排共有種不同的排法,從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法,但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次,在扣除女生排在末位的情況時又被扣去一次,所以還需加一次回來.由于兩端都是女生有種不同的排法,所以共有=14 400種不同的排法.

法三:(元素分析法)從中間6個位置中挑選出3個來讓3個女生排入,有種不同的排法,對于其中的任意一種排法,其余5個位置又都有種不同的排法,所以共有=14 400種不同的排法.

(4)法一:因為只要求兩端不都排女生,所以如果首位排了男生,則末位就不再受條件限制了,這樣可有種不同的排法;如果首位排女生,有種排法,這時末位就只能排男生,這樣可有種不同的排法、因此共有=36 000種不同的排法.

法二:3個女生和5個男生排成一排有種排法,從中扣去兩端都是女生的排法有種,就能得到兩端不都是女生的排法種數為=36 000種.