Question

已知拋物線C：x²＝2my(m＞0)和直線l：y＝kx－m沒有公共點(其中k、m為常數)，動點P是直線l上的任意一點，過P點引拋物線C的兩條切線，切點分別為M、N，且直線MN恒過點Q(k，1)．

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知O點為原點，連結PQ交拋物線C于A、B兩點，證明：S_△OAP·S_△OBQ＝S_△OAQ·S_△OBP．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)如圖，設，

　　由，得；∴的斜率為

　　的方程為，同理得

　　設代入上式得，

　　即，滿足方程

　　故的方程為即：；4分

　　上式可化為，過交點

　　∵過交點，∴，

　　∴的方程為；6分

　　(2)要證，即證；7分

　　設，

　　則(Ⅰ)

　　∵，

　　∴直線方程為，

　　與聯立化簡

　　∴①；②；11分

　　把①②代入(Ⅰ)式中，則分子

　　

　　(Ⅱ)

　　又點在直線上，∴代入(Ⅱ)中得：

　　∴

　　得證；14分