如圖，在四棱錐
中，
底面
，四邊形
為長方形，
，點
、
分別是線段
、
的中點．
(Ⅰ)證明：
平面
；
(Ⅱ)在線段
上是否存在一點
，使得
平面
，若存在，請指出點的位置，并證明平面；若不存在，請說明理由．
（Ⅰ）見解析；(Ⅱ) 在線段
上存在一點
，使得
平面
，此時點為線段的四等分點。理由見解析。
【解析】（1）由三角形中位線的性質(zhì)得
，又
，所以
.根據(jù)線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由已知得
，關(guān)鍵是證
，當點為線段的四等分點時，有△
∽△
，可得.
（Ⅰ）∵，，∴，
又∵
平面
,
平面，
∴
平面．
……………………6分
(Ⅱ) 在線段上存在一點，使得平面，
此時點為線段的四等分點，
且
， …………………… 8分
∵
底面
，∴，
又∵長方形中，△∽△，∴，······································ 10分
又∵
，∴平面． 12分
名校練考卷期末沖刺卷系列答案科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年廣西省桂林中學高二下學期期中考試數(shù)學 題型：解答題
（（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐
中，底面
是矩形．已知
．
（1）證明
平面
；
（2）求異面直線
與
所成的角的大小；
（3）求二面角
的大小．
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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆福建省三明市高三第一學期測試理科數(shù)學試卷 題型：解答題
如圖，在四棱錐
中，底面
是菱形，
，
，
,
平面，
是
的中點，
是
的中點.
(Ⅰ) 求證：
∥平面
；
（Ⅱ）求證：平面⊥平面
；
（Ⅲ）求平面與平面
所成的銳二面角的大小.
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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆上海市高二年級期終考試數(shù)學 題型：解答題
（本題滿分16分）
如圖，在四棱錐
中，底面
是矩形．已知
．
（1）證明
平面
；
（2）求異面直線
與
所成的角的大小；
（3）求二面角
的大小．
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科目：高中數(shù)學 來源：2010年江蘇省高二下學期期末考試附加卷數(shù)學卷 題型：解答題
如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，側(cè)棱
，
為
中點，作
交
于
（1）求PF：FB的值
（2）求平面
與平面
所成的銳二面角的正弦值。
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科目：高中數(shù)學 來源：2011屆浙江省高三6月考前沖刺卷數(shù)學理 題型：解答題
(本小題滿分14分)
如圖，在四棱錐
中，底面
為平行四邊形，
平面，
在棱
上．
（Ⅰ）當
時，求證
平面
（Ⅱ）當二面角
的大小為
時，求直線
與平面
所成角的正弦值．
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