Question

如圖平行四邊形ABCD中，已知AD=1，AB=2，對(duì)角線BD=2.求對(duì)角線AC的長(zhǎng).

Answer 1

思路分析：本題要求線段長(zhǎng)度問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模來(lái)解決.

解：設(shè)=a，=b，則=a-b, =a+b.

而||=|a-b|=,

∴||²=5-2a·b=4.①

又||²=|a+b|²=a²+2a·b+b²=|a|²+2a·b+|b|²=1+4+2a·b.

由①得2a·b=1,

∴||²=6,∴||=,即AC=.

溫馨提示

(1)合理地選擇基底是解決好問(wèn)題的第一步，雖說(shuō)任意兩個(gè)不共線的向量都可以做基底，但選擇恰當(dāng)與否直接關(guān)系到解題過(guò)程的簡(jiǎn)單與復(fù)雜.

(2)幾何問(wèn)題用向量法解決體現(xiàn)出了較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，有關(guān)線段的長(zhǎng)度、平行、夾角等問(wèn)題都可考慮向量法.

(3)在解決本題中，不用解斜三角形，而用向量的數(shù)量積及模的知識(shí)解決，過(guò)程中采取整體代入，使問(wèn)題解決簡(jiǎn)捷明快.