Question

根據下列條件解關于x的不等式x-

3a

x

+2a＞0．
（1）當a=1時；
（2）當a∈R時．

Answer 1

分析：（1）a=1時，不等式為：x-

3

x

+2＞0 即

x 2+2x-3

x

=

(x+3)(x-1)

x

＞0利用分式不等式的根軸法求解即得；
（2）原不等式等價于

x 2+2ax-3a

x

＞0，求出x²+2ax-3a的判別式，通過討論判別式的情況，求出不等式的解解集．

解答：解：（1）a=1時，不等式為：x-

3

x

+2＞0 即

x 2+2x-3

x

=

(x+3)(x-1)

x

＞0
∴x∈（-3，0）∪（1，+∞）
（2）

x 2+2ax-3a

x

＞0∵x²+2ax-3a的△=4a（a+3）
①△＞0
即a＞0或a＜-3若a＞0時，原不等式的解集為：
（-a-

a 2+3a

，0）∪（

a 2+3a

-a，+∞）
若a＞-3，則其解為：（-∞，0）∪（-a-

a 2+3a

，

a 2+3a

-a）
②△=0即a=0或a=-3，a=0時，x＞0，a=-3時，x＞0且x≠3
③△＜0 即-3＜a＜0時，x＞0
綜上知：當-3＜a≤0時，解集為（0，+∞）．當a=-3時，解集為{x|x＞0且x≠3}
當a＞0時，解集為（-a-

a 2+3a

，0）∪（

a 2+3a

-a，+∞），
a＜-3時．
解集為：（-∞，0）∪（-a-

a 2+3a

，

a 2+3a

-a）（7分）．

點評：解決分式不等式及高次不等式，一般先通過同解變形轉化為二次不等式或一次不等式，然后再求解，含參數的不等式一般需要討論．