Question

給出下列四個命題
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則f（x）=x²+a^x-3只有一個零點；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4；
④對于任意實數x，有f（-x）=f（x），且當x＞0時，f'（x）＞0，則當x＜0時，f'（x）＜0．
其中正確的命題有

①③④

（填所有正確的序號）

Answer 1

分析：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；可由全稱命題的否定的書寫規則判斷其真假；
②若0＜a＜1，則f（x）=x²+a^x-3只有一個零點；可由函數的圖象特征進行判斷；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4；可由基本不等式將方程轉化關于a+b不等式，再解不等式求出a+b的最小值，進行驗證；
④對于任意實數x，有f（-x）=f（x），且當x＞0時，f'（x）＞0，則當x＜0時，f'（x）＜0，此命題的真假可由函數的單調性與導數的關系以及函數的單調性與偶函數的關系進行判斷．

解答：解：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”是一個真命題，由于原命題是一個全稱命題，故其否定是一個特稱命題；
②若0＜a＜1，則f（x）=x²+a^x-3只有一個零點是個假命題，由于x=0時，f（0）＜0，x趨向于負無窮大與正無窮大時函數值都是正數，故此函數至少有兩個零點；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4是個真命題，由lga+lgb=lg（a+b），得ab=a+b≤(

a+b

2

)2解得a+b≥4，故a+b的最小值為4；
④對于任意實數x，有f（-x）=f（x），且當x＞0時，f'（x）＞0，則當x＜0時，f'（x）＜0，是個真命題，由對于任意實數x，有f（-x）=f（x），知此函數是一個偶函數，x＞0時，f'（x）＞0，知函數在（0，+∞）上是增函數，故在（-∞，0）上是減函數，所以有x＜0時，f'（x）＜0，
綜上證明知①③④是真命題
故答案為：①③④

點評：本題考查命題真假判斷與應用，解題的關鍵是熟練掌握每個命題所涉及的基礎知識與基本技能，本題中②③兩個命題的真假判斷是個難點，其中②的判斷用到了特殊值法，③的判斷技巧性較強，解題時對此類技巧要注意掌握