Question

選修4-5：不等式選講
已知a∈R，設(shè)關(guān)于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集為A．
（Ⅰ）若a=1，求A；
（Ⅱ）若A=R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，令f（x）=|2x-1|+|x+3|-2x-4，對(duì)x分x＜-3，-3≤x≤

1

2

與x＞

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2

三類討論，即可求得不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集A；
（Ⅱ）通過對(duì)x≤-2，-2≤x＜-1及x≥-1的討論，去掉所求不等式中的絕對(duì)值符號(hào)，利用不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集為R，轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a=1，
∴|2x-1|+|x+3|≥2x+4，
令f（x）=|2x-1|+|x+3|-2x-4，
∴當(dāng)x＜-3時(shí)，
f（x）=1-2x-x-3-2x-4=-5x-6，
由f（x）≥0得x≤-

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，
綜上知，x＜-3；
當(dāng)-3≤x≤

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時(shí)，f（x）=1-2x+x+3-2x-4=-3x，
由f（x）≥0得x≤0，
∴-3≤x≤0；
當(dāng)x＞

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2

時(shí)，f（x）=2x-1+x+3-2x-4=x-2，
由f（x）≥0得x≥2，又x＞

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2

，
∴x≥2；
綜上所述，x≤0或x≥2；
∴A={x|x≤0或x≥2}．
（Ⅱ）當(dāng)x≤-2時(shí)，2x+4≤0，
∴|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4恒成立；
當(dāng)x＞-2時(shí)，|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4，
即|2x-a|≥x+1，
當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，上式恒成立；
∵不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集為R，
當(dāng)x≥-1時(shí)，|2x-a|≥x+1恒成立，
∴2x-a≥x+1或2x-a≤-x-1恒成立
∴a≤x-1或a≥3x+1恒成立，
∴a≤（x-1）_min=-2，或a≥（3x+1）_max，
當(dāng)x≥-1時(shí)，|（3x+1）_max不存在，
∴a≤-2，
∴a的取值范圍為（-∞，-2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考查抽象思維與創(chuàng)新思維能力，屬于難題．