Question

設(shè)函數(shù)f（x）定義域為R，對一切x、y∈R，均滿足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=3，，
（1）求f（π）的值；
（2）求證：f（x）為周期函數(shù)，并求出其一個周期；
（3）求函數(shù)f（x）解析式．

Answer 1

解：（1）令x=y=，則由原式得：f（π）+f（0）=2f（）cos=0
∴f（π）=-f（0）=-3
證明：（2）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用替換y，得f（x+（4））+f（x-（5））=2f（x）cos（6）=0①
∴f（x-）=-f（x+）=-f[（x-）+π]
由x-的任意性知，對任意x∈R，均有：f（x）=-f（x+π）②
∴f（x+2π）=f[（x+π）+π]=-f（x+π）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）為周期函數(shù)，且2π為其一個周期．
解：（3）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用替換x，用x替換y，得：f（+x）+f（-x）=2f（）cosx=8cosx
由②知：f（-x）=-f[（-x）-π]=-f[-（+x）]
∴f（+x）-f[-（+x）]=8cosx
用x替換+x，得：f（x）-f（-x）=8cos（x-）=8sinx③
f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中取x=0，用x替換y，得：f（x）+f（-x）=2f（0）cosx=6cosx④
從而可得，f（x）=4sinx+3cosx
分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）定義域為R，對一切x、y∈R，均滿足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，令x=y=，我們即可求出f（π）的值；
（2）由已知中函數(shù)f（x）定義域為R，對一切x、y∈R，均滿足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，令y=，我們可得任意x∈R，均有：f（x）=-f（x+π），進而得到f（x）為周期函數(shù)，且2π為其一個周期．
（3）由已知中函數(shù)f（x）定義域為R，對一切x、y∈R，均滿足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，令y=，y=x，我們結(jié)合（2）的結(jié)論可得f（+x）-f[-（+x）]=8cosx，即f（x）-f（-x）=8cos（x-）=8sinx，令x=0，y=x，則f（x）+f（-x）=2f（0）cosx=6cosx，聯(lián)立后即可得到f（x）=4sinx+3cosx．
點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)解析的求解方法，函數(shù)的周期性，其中抽像函數(shù)的解答關(guān)鍵是“湊配”思想，湊可以湊已知，也可湊求知，即讓抽象函數(shù)的條件式中，x，y取特殊的值．