Question

如圖，在四棱錐A-BEFP中，AE⊥底面BEFP，BE⊥EF，，AE=1，BE=FA=PB=2．
（1）求直線AE與平面ABP所成角的大小；
（2）求二面角B-AP-F的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，確定，平面ABP的一個法向量，利用向量的夾角公式，可得結論；
（2）確定平面AFP、平面ABP的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結論．
解答：解：（1）因為AE⊥底面BEFP，所以AE⊥BE，AE⊥EF，又BE⊥EF，所以AE，BE，EF三條直線兩兩垂直，以E為原點，EB，EF，EA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz，…..（2分）
在圖2中，AE=1，BE=2，又AF=2，AE⊥EF，所以
所以，，，，
又PB=2，，所以…（4分）
∴，
設平面ABP的一個法向量，
∴，∴
令x=3，則，所以…（6分）
設直線AE與平面ABP所成的角為θ，∴
所以直線AE與平面ABP所成的角為60°…．（8分）
（2）設平面AFP的一個法向量
∴，，∴
∴a=0，令，則c=3，得…．（10分）
∴，…．（12分）
因為二面角B-AP-F為鈍角，所以二面角B-AP-F的大小余弦值為…．（13分）
點評：本題考查線面角，考查面面角，考查利用向量知識解決空間角，解題的關鍵是確定平面法向量的坐標．