Question

集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）若B⊆A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈Z時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；
（3）當(dāng)x∈R時(shí)，沒有元素x使x∈A與x∈B同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若B⊆A，則說明B是A的子集，需要注意集合B=∅的情形．
（2）需要知道集合中元素的具體個(gè)數(shù)，然后套用子集個(gè)數(shù)公式：2ⁿ
（3）當(dāng)x∈R時(shí)，沒有元素x使x∈A與x∈B同時(shí)成立，則說明A與B交集為空集．

解答：解：（1）當(dāng)m+1＞2m-1，即m＜2時(shí)，B=∅滿足B⊆A．
當(dāng)m+1≤2m-1，即m≥2時(shí)，要使B⊆A成立，
需

m+1≥-2 2m-1≤5

，可得-3≤m≤3，
綜上，m≤3時(shí)有B⊆A．

（2）當(dāng)x∈Z時(shí)，A={-2，-1，0，1，2，3，4，5}，
求A的非空真子集的個(gè)數(shù)，即不包括空集和集合本身，
所以A的非空真子集個(gè)數(shù)為2⁸-2=254．

（3）因?yàn)閤∈R，且A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，又沒有元素x使x∈A與x∈B同時(shí)成立，
則①若B=∅，即m+1＞2m-1，得m＜2時(shí)滿足條件；
②若B≠∅，則要滿足的條件是

m+1≤2m-1 m+1＞5

或

m+1≤2m-1 2m-1＜-2

，
解得m＞4．
綜上，有m＜2或m＞4．

點(diǎn)評(píng)：若B⊆A，需要注意集合B能否是空集，必要時(shí)要進(jìn)行討論；
當(dāng)一個(gè)集合里元素個(gè)數(shù)為n個(gè)時(shí)，其子集個(gè)數(shù)為：2ⁿ，真子集個(gè)數(shù)為：2ⁿ-1．