Question

已知函數f(x)=loga

1-mx

x-1

是奇函數（a＞0且a≠1）
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在區間（1，+∞）上的單調性并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由奇函數可得：f（-x）+f（x）=0，求出m的值之后，再驗證是否滿足函數的定義域關于原點對稱即可；
（2）根據函數的單調性和對數函數的單調性即可證明．

解答：解：（1）∵已知函數f(x)=loga

1-mx

x-1

是奇函數（a＞0且a≠1），
∴f（-x）+f（x）=0，
∴loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0，即loga(

1+mx

-x-1

×

1-mx

x-1

)=0，
∴

1+mx

-x-1

×

1-mx

x-1

=1，即1-m²x²=1-x²，∴m²=1，解得m=±1．
又∵

1-mx

x-1

＞0，∴m=1應舍去．
當m=-1時，f（x）=loga

1+x

x-1

，其定義域為{x|x＜-1，或x＞1}關于原點對稱，故適合．
∴m=-1．
（2）當a＞1時，f（x）在區間（1，+∞）上單調遞減，下面給出證明．
設1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=loga

1+x1

x1-1

-loga

1+x2

x2-1

=loga

(1+x1)(x2-1)

(x1-1)(1+x2)

而（1+x₁）（x₂-1）-（x₁-1）（1+x₂）=2（x₂-x₁）＞0，及（x₁-1）（1+x₂）＞0，
∴

(1+x1)(x2-1)

(x1-1)(1+x2)

＞1，又a＞1，
∴loga

(1+x1)(x2-1)

(x1-1)(1+x2)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）．
當0＜a＜1時，同理可證f（x）在區間（1，+∞）上單調遞增．

點評：掌握函數的奇偶性和單調性是正確解題的關鍵．