Question

已知等差數列{a_n}中，a₃=9，a₅=17，記數列{

1

an

}的前n項和為S_n，若S2n+1-Sn≤

m

10

，(m∈Z)，對任意的n∈N^*成立，則整數m的最小值為（　　）

A．5

B．4

C．3

D．2

Answer 1

分析：設公差為d，由a₃=9，a₅=17，得a₁，d的方程組，可解出a₁，d，從而得到a_n，S2n+1-Sn≤

m

10

，(m∈Z)，對任意的n∈N^*成立，等價于（S_2n+1-S_n）_max≤

m

10

，令b_n=S_2n+1-S_n，通過作差可判斷{b_n}的單調性，根據單調性即可得到b_n的最大值．

解答：解：設公差為d，
由a₃=9，a₅=17，得

a1+2d=9 a1+4d=17

，解得a₁=1，d=4，
∴a_n=4n-3，
故S_n=1+

1

5

+

1

9

+…+

1

4n-3

，
令b_n=S_2n+1-S_n=

1

4n+1

+…+

1

8n+1

，
則b_n+1-b_n=[

1

4(n+1)+1

+…+

1

8(n+1)+1

]-[

1

4n+1

+…+

1

8n+1

]=

1

8n+5

+

1

8n+9

-

1

4n+1

＜0，
∴{b_n}是遞減數列，
∴b₁最大，為

1

5

+

1

9

=

14

45

，
∴根據題意，S_2n+1-S_n≤

14

45

，∴

14

45

≤

m

10

，m≥

28

9

，
∴m的最小值為4．
故選B．

點評：本題考查等差數列的通項公式、數列與不等式的綜合，考查恒成立問題，恒成立問題常轉化為最值解決，數列的項的最值常利用作差解決．