Question

休假次數	0	1	2	3
人數	5	10	20	15

某單位實行休年假制度三年以來，50名職工休年假的次數進行的調查統計結果如下表所示：
根據上表信息解答以下問題：
（1）從該單位任選兩名職工，用η表示這兩人休年假次數之和，記“函數f（x）=x²-ηx-1在區間（4，6）上有且只有一個零點”為事件A，求事件A發生的概率P；
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由題意有函數f（x）=x²-ηx-1在區間（4，6）上有且只有一個零點，進行等價轉化為不等式組解出，在有互斥事件有一個發生的概率公式求解即可；
（2）由題意利用ξ表示這兩人休年假次數之差的絕對值，利用隨機變量的定義及隨機變量分布列的定義列出隨機變量ξ的分布列，在利用隨機變量期望的定義求出其期望．

解答：解：（1）函數f（x）=x²-ηx-1過（0，-1）點，在區間（4，6）上有且只有一個零點，則必有

f(4)＜0 f(6)＞

0，解得：

15

4

＜η＜

35

6

，
所以，η=4或η=5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
當η=4時，P1=

C 2 20 + C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

68

245

，
當η=5時，P2=

C 1 20 C 1 15

C 2 50

=

12

49

，
又η=4與η=5 為互斥事件，由互斥事件有一個發生的概率公式，
所以P=P1+P2=

68

245

+

12

49

=

128

245

；
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數之差的絕對值，則ξ的可能取值分別是0，1，2，3，
于是P(ξ=0)=

C 2 5 +C 2 10 + C 2 20 +C 2 15

C 2 50

=

2

7

P(ξ=1)=

C 1 5 C 1 10 + C 1 10 C 1 20 + C 1 15 C 1 20

C 2 50

=

22

49

，
P(ξ=2)=

C 1 5 C 1 20 + C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

10

49

，
P(ξ=3)=

C 1 5 C 1 15

C 2 50

=

3

49

，
從而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	2 7	22 49	10 49	3 49

ξ的數學期望：Eξ=0×

2

7

+1×

22

49

+2×

10

49

+3×

3

49

=

51

49

．

點評：此題考查了學生對于題意的理解能力及計算能力，還考查了互斥事件一個發生的概率公式及離散型隨機變量的定義及其分布列和期望的定義與計算．