Question

如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2

2

，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求四面體PEFC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA=AD=2，知AF=PD，由PA垂直于矩形ABCD所在的平面，知PA⊥CD，由AD⊥CD，知CD⊥平面PAD，由此能夠證明平面PCE⊥平面PCD．
（Ⅱ）由GE⊥平面PCD，知EG為四面體PEFC的高，由GF∥CD，知GF⊥PD，由此能求出四面體PEFC的體積．

解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=2，∴AF=PD，
∵PA垂直于矩形ABCD所在的平面，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD，
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE?平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知GE⊥平面PCD，
∴EG為四面體PEFC的高，
又∵GF∥CD，∴GF⊥PD，
∵EG=AF=

2

，GF=

1

2

CD=

2

，S△PCF=

1

2

PD•GF=2，
∴四面體PEFC的體積V=

1

3

S△PCF•EG=

2 2

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查四面體的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間想象能力的培養．