Question

正方體ABCD_A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E為棱CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：B₁D₁⊥AE；  
（Ⅱ）求證：AC∥平面B₁DE；
（Ⅲ）求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）先證BD⊥面ACE，再利用線面垂直的性質，即可證得結論；
（II）連接AF、CF、EF，由E、F是CC₁、BB₁的中點，易得AF∥ED，CF∥B₁E，從而可證平面ACF∥面B₁DE．進而由面面平行的性質可得AC∥平面B₁DE；
（Ⅲ）三棱錐A-BDE的體積，即為三棱錐E-ABD的體積，根據正方體棱長為2，E為棱CC₁的中點，代入棱錐體積公式，可得答案．
解答：證明：（1）連接BD，則BD∥B₁D₁，（1分）
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．
又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）
∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，
∴B₁D₁⊥AE．（5分）
（2）連接AF、CF、EF．
∵E、F是CC₁、BB₁的中點，∴CE平行且等于B₁F，
∴四邊形B₁FCE是平行四邊形，
∴CF∥B₁E，CF?平面B₁DE，B₁E?平面B₁DE（7分）
∴CF∥平面B₁DE
∵E，F是CC₁、BB₁的中點，∴EF平行且等于BC
又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥ED，
∵AF?平面B₁DE，ED?平面B₁DE（7分）
∴AF∥平面B₁DE
∵AF∩CF=F，
∴平面ACF∥平面B₁DE．（9分）
又∵AC?平面ACF
∴AC∥平面B₁DE；
解：（Ⅲ）三棱錐A-BDE的體積，即為三棱錐E-ABD的體積
∴V=••AD•AB•EC=••2•2•1=
點評：本題主要考查線面垂直和面面平行，解題的關鍵是正確運用線面垂直和面面平行的判定定理，屬于中檔題．