Question

【題目】已知二面角P﹣AB﹣C的大小為120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若點P，A，B，C都在同一個球面上，則該球的表面積的最小值為（ ）

A.45πB.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

設AB＝x，（0＜x＜6），則，由題意知三棱錐外接球的球心是過△PAB和△ABC的外心E，H，且分別垂直這兩個三角形所在平面的垂線的交點O，OB為三棱錐外接球半徑，取AB的中點為G，推導出△EGH的外接圓直徑，從而，當x時，OB2的最小值為，由此能求出該球的表面積的最小值．

設AB＝x，（0＜x＜6），則，

由題意知三棱錐外接球的球心是過△PAB和△ABC的外心E，H，

且分別垂直這兩個三角形所在平面的垂線的交點O，

OB為三棱錐外接球半徑，取AB的中點為G，如圖，

由條件知

在△EGH中，由余弦定理可得

∴△EGH的外接圓直徑，

當時，OB2的最小值為，

∴該球的表面積的最小值為.

故選：B．