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在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側棱AA1=2,DE分別是CC1A1B的中點,點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,?

(1)求A1B與平面ABD所成角的正弦值;?

(2)求點A1到平面ABD的距離.

解析:(1)建立如圖的空間直角坐標系,設A1(a,0,0),則B1(0,a,0),A(a,0,2),B(0,a,2),C(0,0,2).?

DE分別是CC1A1B的中點,?

D(0,0,1),E(,,1).?

G是△ABD的重心,G(, ,),?

=(,,-),=(a,-a,0),=(0,-a,-1).?

EG⊥平面ABDEGABEGAD,得a=2,且A1B與平面ABD所成角為∠EBG,||=,BE= BA1=,sinEBG=.?

(2)EA1B的中點,A1到平面ABD的距離等于E到平面ABD的距離的兩倍,?

EG⊥平面ABDA1到平面ABD的距離等于2||=.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是AB的中點.
(Ⅰ)求證:CD⊥AB′;
(Ⅱ)求二面角A′-AB′-C的大小;
(Ⅲ)求直線B′D與平面AB′C所成角的正弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•瀘州一模)如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AB=BC=CA=a,AA′=
2
a
,則AB′與側面AC′所成角的大小為
30°
30°

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AA′=AB=BC=1,∠ABC=90°.棱A′C′上有兩個動點E,F,且EF=a (a為常數).
(Ⅰ)在平面ABC內確定一條直線,使該直線與直線CE垂直;
(Ⅱ)判斷三棱錐B-CEF的體積是否為定值.若是定值,求出這個三棱錐的體積;若不是定值,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖所示,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直線B′C與平面ABC成30°角.
(1)求證:A′B⊥面AB′C;
(2)求二面角B-B′C-A的正弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,點D是BC的中點,∠ACB=90°,AC=BC=1,AA′=2,
(1)欲過點A′作一截面與平面AC'D平行,問應當怎樣畫線,寫出作法,并說明理由;
(2)求異面直線BA′與 C′D所成角的余弦值.

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