Question

1、已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長均為1，對于下列結論：
（1）BD₁⊥平面A₁DC₁；
（2）A₁C₁和AD₁所成角為45°；
（3）點A和點C₁在該正方體外接球表面上的球面距離為

3

2

π；
（4）E到平面ABC₁的距離為

1

2

（E為A₁B₁中點）
其中正確的結論個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：（1）中根據線面垂直的判定定理可判，（2）中可由異面直線所成的角的定義進行判斷；而（3）中由球面距離的求解即可得出答案；（4）E到平面ABC₁的距離轉化為B₁到平面ABC₁的距離求解即得．

解答：解：（1）中，由線面垂直的性質定理可知BD₁⊥A₁D，BD₁⊥A₁C₁，從而根據線面垂直的判定定理得到BD₁⊥平面A₁DC₁，故正確；
（2）中因為A₁C₁和AD₁所成角等于AC和AD₁所成角，為∠CAD₁=60°，知不正確；
（3）中點A和點C₁在該正方體外接球表面上是球的一條直徑的兩個端點，它們的球面距離是球的大圓周長的一半，球的半徑為R=

3

2

，它們的球面距離為

3

2

π，故正確；
（4）中E到平面ABC₁的距離B₁到平面ABC₁的距離，為正方形BCC₁B₁對角線長的一半，即

2

2

，故錯．
其中正確的結論個數是2．
故選C．

點評：本題考查正方體中的線面位置關系和異面直線所成的角，考查邏輯推理能力．